Проценты встречаются не только в школьных задачах, но и в повседневной жизни: когда считают скидки, переплату по кредиту или рост цен. При этом многие задачи с процентами решаются по одним и тем же принципам.
В статье рассказываем, как считать проценты, какие формулы использовать и как решать типовые задачи шаг за шагом.
Что такое процент и основные формулы
Слово «процент» означает «сотая часть». Любое число можно разделить на сто равных частей. Одна такая часть и называется одним процентом.
Значок процента выглядит так: %
Если представить пирог, разрезанный на 100 одинаковых кусочков, один кусочек — это 1% от всего пирога. Два кусочка — это 2%, а весь пирог — это 100%.
То же самое работает с любым числом. 1% от 300 рублей — это 3 рубля, потому что 300 разделить на 100 равняется 3. 1% от 50 килограммов — это 0,5 килограмма, то есть полкилограмма.
Проценты удобно переводить в десятичные дроби. Для этого нужно просто разделить число процентов на 100. Например, 1% — это 0,01. 5% — 0,05, а 50% — 0,5. По тому же принципу 65% будет 0,65.
Чтобы найти любой % от числа, нужно:
Перевести заданные проценты в десятичную дробь, то есть разделить на 100.
Умножить число на эту дробь.
Пример. Найти 25% от 200
25% = 25 / 100 = 0,25
200 × 0,25 = 50
Можно использовать и другую формулу:
Часть = (Число × Проценты) / 100
Пример с формулой: Найти 15% от 80.
(80 × 15) / 100 = 1200 / 100 = 12
В некоторых задачах известна часть числа и сколько % она составляет. Чтобы найти все число, нужно представить проценты в виде десятичной дроби и разделить на них известную часть.
Пример: 20% числа равны 60. Найти число.
20% = 0,20
60 / 0,20 = 300
Вторая формула для этого случая:
Число = (Часть × 100) / Проценты
Пример формулой: 8% числа равны 24. Найти число.
(24 × 100) / 8 = 2400 / 8 = 300
Типы задач на проценты с решением
Все задачи можно разделить на несколько типов.
Нахождение процента от числа
Известно целое число и количество процентов. Нужно найти, чему равны эти проценты от целого. Например, сколько будет 15% от 200.
Пример 1. В банк положили вклад 50 000 рублей под 8% годовых. Сколько рублей составят проценты за один год?
Как решать: За год банк начислит 8%. Нужно перевести эту проценты в десятичную дробь и умножить на исходную сумму. Или использовать формулу: (Число × Проценты) / 100.
Другой способ. Можно сначала найти 1% от суммы на вкладе, а потом умножить получившееся значение на 8%.
(50 000/100) * 8 = 500 * 8 = 4 000
Пример 2. Ученик прочитал 60% книги. В книге 250 страниц. Сколько страниц прочитал ученик?
Как решать: Нужно найти 60% от общего количества страниц. Общее количество — это 100%. Чтобы найти 60%, можно сначала найти 1% (разделить 250 на 100), а потом умножить на 60.
Решение: (250 / 100) * 60 = 2,5* 60 = 150
Второй вариант: (250 × 60) / 100 = 150
Ответ: ученик прочитал 150 страниц.
Пример 3. В школьной олимпиаде участвовало 120 человек. Из них 35% — девятиклассники. Сколько девятиклассников участвовало в олимпиаде?
Как решать: Чтобы найти 35%, нужно перевести их в десятичную дробь и умножить 120.
Ответ: в олимпиаде участвовало 42 девятиклассника.
Нахождение числа по его проценту
В этих задачах известна часть числа, то есть сколько составляет несколько процентов, и сам процент. Требуется найти все число. Например: известно, что 20% числа равны 60. Какое это число?
Пример 1. За день рабочий изготовил 42 детали, что составляет 14% от месячной нормы. Какова месячная норма рабочего?
Как решать: Неизвестно, сколько деталей нужно изготовить за месяц. Но известно, что 42 детали — это 14% от нормы. Переведем % в долю — получится 0,14. Затем известное число деталей разделим на эту долю. Или можно сразу использовать формулу: (Часть × 100) / Проценты.
Пример 2. Турист прошел 18 км, что составляет 45% всего маршрута. Чему равна длина всего маршрута?
Как решать: 18 км — это 45% от всего пути. Нужно найти длину всего пути. Для этого сначала вычислим известную долю. Затем разделим на нее известные километры.
Решение: 18 / (45/100) = 18 / 0,45 = 40
Второй вариант: (18 × 100) / 45 = 1800 / 45 = 40
Ответ: длина всего пути равна 40 км.
Пример 3. Школьник потратил 150 рублей, что составило 30% его карманных денег. Сколько всего денег было у школьника?
Как решать. 150 рублей — это 30% от всей суммы. Чтобы найти всю сумму, найдем долю потраченных денег. Далее разделим на нее потраченную сумму.
В таких задачах даны два числа — часть и целое. Нужно узнать, сколько % первое число составляет от второго.
Пример 1. Из 200 опрошенных 80 человек любят кофе. Сколько процентов опрошенных любят кофе?
Как решать: Нужно узнать, какую долю 80 составляет от 200. Для этого 80 делим на 200. Чтобы перевести долю в проценты, умножаем долю на 100.
Решение: (80 / 200) × 100 = 0,4 × 100 = 40
Ответ: 40% опрошенных любят кофе.
Пример 2. В книге 300 страниц. Ученик прочитал 60. Сколько процентов книги прочитано?
Как решать: Часть составляет 60. Целое — 300. Делим часть на целое и умножаем на 100.
Решение: (60 / 300) × 100 = 0,2 × 100 = 20
Ответ: ученик прочитал 20% книги.
Пример 3. В коробке 50 конфет, из них 15 шоколадных. Какой процент конфет составляют шоколадные?
Как решать: Шоколадные конфеты — это часть. Все конфеты — это целое. Чтобы найти процент, нужно часть разделить на целое и умножить на 100.
Решение: (15 / 50) × 100 = 0,3 × 100 = 30
Ответ: в коробке 30% шоколадных конфет.
Увеличение числа на процент
В задачах этого типа исходное число увеличивается на какое-то количество процентов. Нужно найти новое число.
Пример 1. Зарплата сотрудника 40 000 рублей. Ее повысили на 15%. Какой стала зарплата?
Как решать: Повышение означает, что к исходной зарплате (100%) нужно прибавить еще 15%. Новая зарплата составит 115% от старой. 115% в виде десятичной дроби — это 1,15. Чтобы найти новую зарплату, нужно старую умножить на 1,15.
Решение: 40 000 × 1,15 = 46 000
Ответ: новая зарплата составит 46 000 рублей.
Второй способ. Сначала найдем 15% от старой зарплаты. Для этого умножим 40 000 на 0,15. Затем прибавим получившееся число к изначальной зарплате сотрудника.
Пример 2. В прошлом году в городе проживало 500 000 человек. За год население выросло на 8%. Сколько жителей стало?
Как решать: Рост на 8% означает, что население стало составлять 108% от прошлогоднего. 108% = 1,08. Умножаем старую численность на 1,08.
Решение: 500 000 × 1,08 = 540 000
Ответ: в городе проживает 540 000 человек.
Пример 3. Товар стоил 1200 рублей. Цену увеличили на 25%. Сколько стоит товар?
Как решать: Увеличение на 25% — это 125% от старой цены. 125% = 1,25. Умножаем 1200 на 1,25.
Решение: 1200 × 1,25 = 1500
Ответ: товар стоит 1500 рублей.
Уменьшение числа на процент
В этих задачах исходное число уменьшается на заданное количество процентов. Нужно найти новое число.
Пример 1. Куртка стоила 4 000 рублей. Во время распродажи цену снизили на 30%. Сколько стоит куртка?
Как решать: Снижение на 30% означает, что от старой цены (100%) остается 100 − 30 = 70%. То есть новая цена составит 70% от старой. 70% в виде десятичной дроби — это 0,7. Умножаем старую цену на 0,7.
Решение: 4 000 × 0,7 = 2 800
Ответ: Куртка стоит 2 800 рублей.
Второй способ. Найдем 30% от изначальной стоимости и отнимем это число.
4000 - (4 000 × 0,3) = 4000 - 1200 = 2 800
Пример 2. В баке было 80 литров воды. За день испарилось 15%. Сколько воды осталось?
Как решать: Если испарилось 15%, то осталось 85% от первоначального объема. Это 0,85 в долях. Умножаем 80 на 0,85.
Решение: 80 × 0,85 = 68
Ответ: В баке 68 литров воды.
Пример 3. Сплав весит 200 кг. При обработке вес уменьшился на 12%. Сколько стал весить сплав?
Как решать: Уменьшение на 12% означает, что новый вес составит 100 − 12 = 88% от старого. 88% = 0,88. Умножаем 200 на 0,88.
Решение: 200 × 0,88 = 176
Ответ: сплав весит 176 кг.
Задачи на сложный процент
Сложные проценты чаще всего встречаются в банковских вкладах и кредитах. В таких задачах каждый раз новый % считают от суммы, которая получилась после предыдущего начисления.
Пример 1. Вкладчик положил в банк 10 000 рублей под 10% годовых. Какая сумма накопится через два года, если проценты начисляются раз в год и не снимаются?
Как решать: Каждый год сумма увеличивается на 10%, то есть умножается на 1,1. За два года умножение происходит дважды. Сначала находим сумму после первого года. Затем полученную сумму снова умножаем на 1,1.
Решение:
Первый год: 10 000 × 1,1 = 11 000
Второй год: 11 000 × 1,1 = 12 100
Два действия можно записать в одно через квадрат: 10 000 × 1,12 = 12 100
Ответ: на вкладе будет 12 100 рублей.
Пример 2. В магазине цену товара со 150 рублей сначала повысили на 10%, а потом еще на 20%. На сколько повысилась цена за два раза?
Решение:
После первого повышения: 150 × 1,1 = 165
После второго повышения: 165 × 1,2 = 198
Общее повышение: 198 - 150 = 48
Ответ: цена повысилась на 48 рублей.
В школе «БИТ» на уроках математики учителя наглядно объясняют все темы. В классах от 10 до 22 человек, поэтому учитель успевает уделить внимание каждому ученику, разобрать ошибки и ответить на вопросы.
Если ребенок пропустил урок или хочет повторить материал еще раз, всегда можно посмотреть запись занятия в удобное время. А для дополнительной практики в школе есть тренажеры и задания для самостоятельной отработки — это помогает лучше закрепить знания и чувствовать себя увереннее на контрольных и экзаменах.